作品目录

序言
第1章 数和极限 1
1.1 不等式 1
1.1.1 不等式的法则 3
1.1.2 三角不等式 3
1.1.3 算术-几何平均值不等式 4
问题 7
1.2 实数和最小上界定理 10
1.2.1 实数作为无限小数 10
1.2.2 最小上界定理 12
1.2.3 舍入 14
问题 16
1.3 数列及其极限 17
1.3.1 的近似 20
1.3.2 数列与级数 21
1.3.3 区间套 32
1.3.4 柯西数列 33
问题 35
1.4 数字e 39
问题 42
第2章 函数及其连续性 45
2.1 函数的概念 45
2.1.1 有界函数 48
2.1.2 函数的运算 49
问题 51
2.2 连续性 52
2.2.1 用极限定义函数在一点处的连续性 54
2.2.2 区间上的连续性 57
2.2.3 介值定理与最值定理 58
问题 61
2.3 函数的复合及逆 63
2.3.1 反函数 66
问题 70
2.4 正弦与余弦 71
问题 74
2.5 指数函数 75
2.5.1 放射性衰变 76
2.5.2 细菌繁殖 76
2.5.3 代数定义 77
2.5.4 指数型增长 78
2.5.5 对数 80
问题 84
2.6 函数列及其极限 85
2.6.1 函数列 85
2.6.2 函数项级数 92
2.6.3 函数与 96
问题 101
第3章 导数和微分 105
3.1 导数的概念 105
3.1.1 几何意义 107
3.1.2 可导与连续 110
3.1.3 导数的应用 112
问题 117
3.2 求导法则 119
3.2.1 和、积与商的导数 120
3.2.2 复合函数的导数 124
3.2.3 高阶导数及记号 127
问题 128
3.3 函数ex和lnx的导数 132
3.3.1 函数ex的导数 132
3.3.2 函数lnx的导数 133
3.3.3 幂函数的导数 135
3.3.4 微分方程y'= ky 135
问题 136
3.4 三角函数的导数 138
3.4.1 正弦和余弦函数的导数 138
3.4.2 微分方程y"+y=0 140
3.4.3 反三角函数的导数 142
3.4.4 微分方程y"-y=0 144
问题 146
3.4.5 幂级数的导数 148
问题 151
第4章 可导函数的理论 153
4.1 中值定理 153
4.1.1 一阶导数用于最优化 156
4.1.2 利用微分证明不等式 160
4.1.3 推广的中值定理 162
问题 163
4.2 高阶导数 166
4.2.1 二阶导数检验 170
4.2.2 凸函数 171
问题 173
4.3 泰勒定理 175
4.3.1 泰勒级数的例子 180
问题 185
4.4 逼近导数 186
问题 191
第5章 导数的应用 194
5.1 气压 194
问题 196
5.2 运动定律 196
问题 201
5.3 求函数零点的牛顿法 201
5.3.1 平方根的逼近 203
5.3.2 多项式根的逼近 204
5.3.3 牛顿法的收敛性 206
问题 209
5.4 光的反射和折射 210
问题 215
5.5 数学与经济学 216
问题 219
第6章 积分 221
6.1 积分的例子 221
6.1.1 从速度表确定路程 221
6.1.2 细棒的质量 223
6.1.3 正函数下方图的面积 225
6.1.4 负函数和净总值 227
问题 228
6.2 积分 229
6.2.1 积分的近似 231
6.2.2 积分的存在性 235
6.2.3 积分的进一步的性质 238
问题 241
6.3 微积分基本定理 243
问题 251
6.4 积分的应用 253
6.4.1 体积 253
6.4.2 累积量 255
6.4.3 弧长 256
6.4.4 功 257
问题 259
第7章 积分方法 260
7.1 分部积分 260
7.1.1 带积分形式余项的泰勒公式 264
7.1.2 优化数值近似 266
7.1.3 微分方程的应用 267
7.1.4 π的Wallis乘积公式 267
问题 269
7.2 换元法 271
问题 276
7.3 广义积分 277
问题 290
7.4 积分的其他性质 292
7.4.1 函数列的积分 292
7.4.2 含参变量的积分 295
问题 297
第8章 积分的近似数值计算 298
8.1 近似积分 298
8.1.1 中点法则 300
8.1.2 梯形法则 301
问题 302
8.2 辛普森法则 304
8.2.1 辛普森法则的替代方法 307
问题 309
第9章 复数 310
9.1 复数 310
9.1.1 复数的运算 311
9.1.2 复数的几何 315
问题 320
9.2 复值函数 323
9.2.1 连续性 323
9.2.2 导数 324
9.2.3 复值函数的积分 325
9.2.4 复变量的函数 326
9.2.5 复指数函数 329
问题 332
第10章 微分方程 334
10.1 用微积分描述振动 334
10.1.1 力学系统的振动 334
10.1.2 耗散和能量守恒 338
10.1.3 没有摩擦力时的振动 339
10.1.4 没有摩擦力的线性振动 342
10.1.5 带摩擦力的线性振动 344
10.1.6 外力驱动的线性系统 348
问题 352
10.2 种群动力学 355
10.2.1 微分方程 355
10.2.2 人口增长与涨落 361
10.2.3 两个物种 365
问题 373
10.3 化学反应 374
问题 381
10.4 微分方程的数值求解 382
问题 386
第11章 概率 387
11.1 离散概率 387
问题 396
11.2 信息论：感兴趣的事有多有趣? 397
问题 400
11.3 连续概率 401
问题 409
11.4 误差律 411
问题 419
部分问题的答案 421
术语对照表 448
译后记 454
《现代数学译丛》已出版书目 456
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精彩摘录

Ourpurposeinwritingacalculustexthasbeentohelpstudentslearnatfirsthandthatmathematicsisthelanguageinwhichscientificideascanbepreciselyformulated,thatscienceisasourceofmathematicalideasthatprofoundlyshapethedevelopmentofmathematics,andthatmathematicscanfurnishbrilliantanswerstoimportantscientificproblems.Theansweristhatscienceandmathematicsaregrowingbyleapsandboundsontheresearchfrontier,sowhatweteachinhighschool,college,andgraduateschoolmustnotbeallowedtofalltoofarbehind.Asmathematicianandeducators,ourgoalmustbetosimplifytheteachingofoldtopicstotakeroomfornewones.ouraimistofosterunderstanding,not"rigor."Wehaveworkedhardinthisrevisiontoshowthatuniformconvergence...

——引自章节：Preface

Onecannotexaggeratetheimportanceincalculusofinequalitiesbetweennumbers.Inequalitiesareattheheartofthebasicnotionofconvergence,anideacentraltocalculus.Inequalitiescanbeusedtoprovetheequalityoftwonumbersbyshowingthatoneisneitherlessthannorgreaterthantheother.

——引自章节：1.Numbersandlimits