本书主要研究非一致格子上复超几何差分方程及非一致格子上离散分数阶微积分,以及他们之间的联系。用一些新的广义Euler积分研究方法,建立复超几何差分方程一个基本定理及解函数,该定理不同于Suslov基本定理,得到的解函数推广了有名的Askey-Wilson正交多项式,为一类特殊函数发展做出了贡献。我们还建立了Nikiforov-Uvarov-Suslov复超几何方程的伴随方程,证明它仍然是超几何差分方程并求其解。建立了超几何差分广义Rodrigues公式等。本书还首创性地分别通过引入广义幂函数的方法,以及运用推广的Cauchy积分公式,给出非一致格子上离散分数阶微积分的一些基本定义和重要性质。得到非一致格子上Abel方程的解,Euler-Beta公式模拟,非一致格子Taylor公式、Leibniz公式,以及一类非一致格子中心分数阶差分方程的解。以及深入探讨非一致格子超几何差分方程的解与非一致格子离散分数阶微积分之间的紧密关系,离散分数阶微积分与一些特殊函数、超几何函数之间的关系等。
第1章 超几何型方程
本章简单介绍超几何微分方程的概念和性质以及超几何差分方程的定义和性质, 重点介绍非一致格子的概念和由来. 超几何型方程的解是一些特殊函数, 在后面的章节我们将会看到, 其中的一些特殊函数与分数阶微积分 (或离散分数阶微积分) 有十分密切的关系.
1.1 超几何型微分方程介绍
应用数学和数学物理中的许多问题中, 都会导出方程
(1.1.1)
这里 σ(z) 和 τ (z) 是至多二阶和一阶多项式, λ 是常数. 我们称方程 (1.1.1) 为超几何型方程 (超几何方程), 它的解称为超几何型函数 (超几何函数).
对于超几何方程 (1.1.1) 的任意解, 下面一个基本性质是满足的.
性质 1.1.1 超几何函数的任意阶导数, 仍然是超几何型函数.
证明 对方程 (1.1.1) 微分一次, 令 υ1(z) = y′(z), 那么容易知道 υ1(z) 满足方程
(1.1.2)
这里
由于τ1(z) 是关于 z 的至多一阶多项式, 且 μ1 是不依赖于 z 的常数, 因此方程 (1.1.2) 仍然是一个超几何型方程.
同理, 对方程 (1.1.1) 微分 n 次, 我们能够得到关于函数 υn(z) = y(n)(z) 满足的超几何型方程
(1.1.3)
这里
(1.1.4)
(1.1.5)
1.1.1 超几何型多项式及 Rodrigues 公式
上面所考虑方程 (1.1.1) 的特性, 可以让我们根据某个 λ 的值, 构造出一族特解. 事实上, 当 μn = 0 时, 方程 (1.1.3) 有特解 υn(z) = const. 由于 υn(z) =y(n)(z), 这就意味着:当
原超几何方程有 y(z) = yn(z), 其中 yn(z) 是 n 阶多项式. 我们称这种解为超几何型多项式.
为找出超几何多项式的明显公式, 我们用函数 ρ(z) 和 ρn(z) 分别乘以方程(1.1.1) 和方程 (1.1.3), 那么就可将它们化为自相伴型方程
(1.1.6)
(1.1.7)
这里 ρ(z) 和 ρn(z) 满足微分方程
(1.1.8)
(1.1.9)
对τn(z) 利用 (1.1.4), 我们能够建立 ρn(z) 和 ρ0(z) = ρ(z) 之间的关系:
因此
且有
由于
且
我们可将 (1.1.7) 改写成
因此, 由递推我们得到
这里
(1.1.10)
我们现在继续要得到超几何多项式的明显表达式. 如果函数 y(z) 是一个 n阶多项式, 即 y(z) = yn(z), 那么 υn(z) = y(n) n (z) = const, 并且我们得到 yn(z) 的如下表达式
(1.1.11)
这里是一个标准化的常数, 且 An 由方程 (1.1.10) 确定, 并且
因此除了一个常数之外, 方程 (1.1.1) 的多项式解由公式 (1.1.11) 唯一确定. 这些解对应于常数值 μn = 0, 即
我们称关系 (1.1.11) 为 Rodrigues 公式.
1.1.2 多项式的分类
通过线性变换, 方程 (1.1.1) 中的 σ(z) 和 τ (z) 可以化为以下几种情形.
(1) 让 σ(z) = 1.z2, τ (z) = -α+β +2)z +β-. 这时方程 (1.1.8) 的解为
由 Rodrigues 公式, 可以得到相应的多项式 yn(z) 是
这里
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