本书尽管篇幅不大,但内容独具特色。它基本上没有罗列四色问题的
各种等价命题,对四色定理机器证明仅有数百字介绍,而主要是对一些简
单例图及四色问题历史上著名例图,给出较为丰富的、直观的、具体四着
色结果,包括大量图形、表格。二十来个例图具体四着色的各种图、表和
对这些图、表的解说构成本书主体。这种安排显著降低了阅读难度,对多
数读者来说,更加通俗、直观、生动。
——中国科学院院士张景中
如果说四色问题的魅力曾经引诱众多知名数学家为之倾心,那么,许
寿椿的这本《(图说四色问题)》对广大非专业的数学爱好者来说,也许有更
多的魅力。它不仅仅把那些知名数学家在四色问题面前跌倒的故事娓娓道
来,而且着手研究用合理的算法来实际实现对任何图的四着色,进而对历
史上若干难于四着色的著名例图的确给出了四着色。它于是启发我们:如
果你能够提出一种算法,并且又能证明这种算法对任何有限图总能成功地
实现四着色,那你就把“四色问题”变成了“四色定理”了,这也许是本
书更为诱人之处!
——北京大学教授武际可
兴地阅读了《图说四色问题》的书稿,认为该书稿是一部具有原创性的科普佳
作,适合中学生、大学生、研究生,数学教师和数学爱好者阅读。写下面的几段话向读者
推介。
四色问题是一个世界著名数学难题。对它感兴趣甚至迷恋它的大有人在。在各种教
材与专著里以及数学普及读物里,往往都会讲到它。遗憾的是,一般除简单历史介绍外,
大多注重四色定理的各种等价命题的解说,以及四色定理机器证明方法的讲解,更具体
实在的就很少涉及了。本书尽管篇幅不大,但内容独具特色。它基本上没有罗列四色定
理的各种等价命题,对四色定理机器证明仅有数百字介绍,而主要是对一些简单例图及
四色问题历史上著名例图,给出较为丰富的、直观的、具体四着色结果,包括大量图形、
表格。二十来个例图具体四着色的各种图、表和对这些图、表的解说构成本书主体。这种
安排显著降低了阅读难度,对多数读者来说,更加通俗、直观、生动。
在长达一个半世纪的进程中,有众多知名数学家投身于四色问题。四色问题现今有
数十种变体、等价说法和各种推广。但四色猜想本身的研究却进展缓慢。直到1976年美
国数学家给出四色定理的计算机证明,其基本证明思路“可约构形不可避免集合”的检
验.仍然不容易用简单通俗的语言说得十分清楚明白。再者,由于传统的用纸、笔研究数
学方法的局限,使十来个点的图(十来个国家的地图)的完整四着色分析,用手工的办法
难于进行,、一百多年来大量论文和四五十年来的不少专著、教材里,难于看到着了四种
颜色的非平凡例图。这反映出人们对四色问题的认识还很初步,对具体图的四着色属性
还知之甚少。这些使得四色问题的普及带有源于自身的固有困难。本书的新意,不完全
是由于作者叙述、表达方面的写作技巧,而是由于作者在十多年潜心研究中处理了大批
例图,获得丰富的、**手原始基础资料。这些资料容易用图形、表格方式表达。这使得
四色问题开始变得直观、形象、具体。容易发现,作者对资料认真地做了加工。对不少例
图做了十分认真、细致的设计。作者利用其研究所得**手资料,把四色难题的种种概
念做了深入浅出、直观具体的表述,使得抽象、繁难的问题向简单、通俗跨了一大步。
本书中的素材主要来自作者自己的研究。作者处理的例图较为系统、完整(包括各
已知著名例图和*小的四连通极大平面图、五连通极大平面图),例图的加工、处理较为
细致、深入,所得**手资料较为丰富。这些素材是其他专著及普及读物里现在还见不
到的。因而本书有突出的原创性特点。
对于一般数学的求解问题,特别是组合数学的求解问题,通常要顺次地研讨:问题
有没有解:解是唯一的还是批量的;唯一性证明或全部解的数量和结构性质;与批量解
结构相关的不变量:解的性质与该问题其他相关属性的关联等等。四色问题长期以来,
主要还在研讨有没有解的问题。至于有怎样的解,解的属性和结构,四着色和其他属性
的关联,还都极少涉及。本书中,作者精选了自己十多年研究的部分结果,做了通俗化介
绍。这里包括:求出部分解:由单个解求出可由它经过二色变换得到的众多解(由根四着
色生成四着色树):算出一个图的全部四着色总数并具体算出全部四着色解;四着色不
变量的发现和论证:四着色类型与哈密顿性关系等等:相当直观地、通俗地讲述了这些
较为系统的新结果。许多图表作为四色问题的基础材料,对读者增加知识也有很大帮
助。也是许多读者,特别是数学爱好者都感兴趣的。
作者联系着四色问题的历史,依据自己研究工作的进程,细致、具体地描述了四色
问题的种种迷人之处和一些重要进展的由来。作者恰当地采用功能强大的电脑和数学
软件为工具,认真地、脚踏实地地进行原始资料(集中于批量例图的具体四着色)的发
掘、搜集。具体展示了这个过程概貌并努力引导读者一起观察、分析、探索,共享发现的
乐趣。书里逻辑证明很少,并都十分初等、简单。主要是基于平面图欧拉公式的多元一次
式的简单变换。简单、初等的方法能导出一些有价值的新结果,作者自认为是电脑和软
件的作用。作者把这和伽利略用望远镜发现月球上的环型山相比较,用以说明:合理的
科学方法、研究工具和老实的科学态度*为重要。
现今在广大数学爱好者中,有些人偏于急躁求成,不安心于踏实、细致的工作,盲
目、轻率地发动对数学难题的攻坚。有些人稍有所获,就宣称自己有了重大发现、重大贡
献,甚至轻率否定学界公认的已有结果。比较起来,本书作者十多年里脚踏实地,默默无
闻.耐心、细致地“做例子”,积累基本事实资料;在对丰富资料的观察中力争有所发现,
有所前进。这对爱好科学的读者们,会有积极的影响和启发。
代前言
致青少年朋友和他们的老师
这是写给广大科学爱好者,特别是青少年读者的一本普及读物。本书主要用图、表
及其解说来介绍著名的四色问题。所用图件主要有两类:几位重要数学家的照片,和用
来展示例图着色属性的图件,这一类占绝大部分。后者是作者用Maple软件(主要是其
中的图论程序包)处理大量例图时得到的(但本书不涉及Maple的具体使用,对它毫无
了解不影响阅读)。由于十来个点的平面图着色问题单用手工已经难于处理,所以150
多年来大量关于四色问题的论文和专著中,很难看到着了四色的非平凡例图。至
今人们对具体图的四着色属性还知之甚少。应当说“四色公主”还是“藏在深闺人未识的
大家闺秀”。本书结合二十来个例图给出的资料应陔算是较为丰富、较为生动、较为有趣
的。这些使得我们的“四色公主”变得多彩、美丽、迷人。本书作者愿意与广大青少年朋友
共享这种乐趣。书中所选用的例图,包括学界熟知的四色问题著名例图(如:希伍德反
例图、塔特反例及其同类图4个、加德纳难四着色图等),一些*小例图(*小四连通6
个.*小五连通3个)及几个另外的例图。对于大多数例图(包括希伍德反例图、塔特反
例图),我们都得到了其全部四着色。*小的8个图的全部四着色都用列表形式给出(其
他的因数据量太大而从略),图示了它们的种种着色属性。在我们观察、分析具体例图大
量**手资料时,也发现、论证了一些规律性的东西,如全部四着色的森林结构、四着色
不变量等等,并都做r图示和说明。
本书中逻辑推理的内容极少,基本是基于平面图欧拉公式多元一次式的简单演算,
初中生都会做。书中的全部叙述都是初等的。用完全初等方法能获得有价值的新结果
吗?不必怀疑。想当初,伽利略发现月球上的环行山,主要不是因为伽利略的“绝顶聪明
的头脑’’和“十分神奇的双眼”,关键是他改进了望远镜并把它对准了月亮(这才是关键
的)。成就**位细胞生物学家的,也不是他的“绝顶聪明的头脑”和“十分神奇的双眼”,
关键是种种主客观条件使他把切片放到r显微镜下。我相信,当伽利略把望远镜交给你
时,只要你也把它对准月亮,认真地看一下,你一定也会有所发现。
2005年在国内成功完成了一次“世界*迷人数学难题”的网络评选(其简要情况介
绍见本书】.11古)。四色问题以63 987票当选第二名。有评沦家认为,这次评选有36
万爱好者参加(经过严格审查确认有效投票202 432张),并且成功完成,足表明我国公
众科技素养有提高的可喜事件。作者认为,这得力于近许多年来众多科学家、教育家的
不断的、有效的呼吁,与有关部门切实的如下工作有关:要十分注意保护、培养青年的
科学兴趣;要十分注意保护、培养青年的对科学的好奇心、求知欲;要十分注意保护、培
养青年对科学的探索欲、创造欲;要批评那些完全功利又近于残酷的强化集训1、题海大
战,尽管这些对增加知识、提高技能有短期效果,但对学生自主创造能力的培养和身心
健康可能造成更严重危害。作者为有36万爱好者的参加感到欣喜。是的,兴趣足*好的
老师,强烈的好奇心、探索欲是创造发明的必要条件。看到有这许多数学爱好者,是激励
作者抓紧写出这本书的动因之一。本书的绝大部分,都是对四色问题采川初等图论方式
所做的通俗但也是细致认真地讲解:书中也用少量篇幅写小r作者学习、探索过程十的
观察、思考、心得,和对四色问题的奥妙、美妙、迷人之处的若干评说。这样的安排是希望
对读者增加对数学科学的兴趣、好奇心有所帮助,对激发读者的求知欲、探索欲有所帮
助。本书内容的安排,大体依照作者自己学习、探索的经历。这样做,可能容易说清自己
的思路,容易和读者进行交流。如果本书的某些图、表、论说在读者心理留下一些记忆,
或者引发了、增加了他们的兴趣,或者引发了、增加了他们的探索欲望,作者将由衷感到
欣慰。
书中列出少量必要的文献,它们对想进一步学习的读者和辅导教师可能有用。
本书**次稍许完整地介绍了作者关于四色问题计算机辅助的研究。限于篇幅,
限于图说表达方式的局限,不少内容没有包括,许多内容被删节了。作者很希望有机会
把相关工作向读者做更完整、更细致地介绍,与朋友们共享学习、实验、观察、探索、
发现的快乐,共同欣赏四色难题。渎者有什么意见、建议、希望,可以直接通过作者的博
客进行交流。
作者简介
许寿椿 中央民族大学教授。1963年毕业于北京大学数学力学
系并留校任教。1985年调入中央民族学院任教,从事计算机软件、离
散数学、中文信息处理等教学和研究]二作。曾获国家科技进步三等
奖、国家民族事务委员会科技进步一等奖。发表论文80余篇,著作11
种.其中畅销书类著作有:《
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